\appendix
\chapter{波动方程}
\chapter{球Bessel方程}
\chapter{Abel问题}
\section{Abel问题}
一个质点沿光滑曲线下落。如果已知下落的距离和相应的时间，求曲线的形状。\\
我们将这个问题数学化。假设质点从\textit{h}高处下落，到水平面$ y=0 $上，相应需要的时间为$ T(y) $。在下落过程中，在某个时间点取微元，有\[ v=\frac{\mrd s}{\mrd t}=\frac{\sqrt{\mrd x^2+\mrd y^2}}{\mrd t}=-\frac{\sqrt{1+\left(\frac{\mrd x}{\mrd y}\right)^2 }}{\mrd t}\mrd y (\mrd y<0)\]
而由能量守恒可以得到\[ v=\sqrt{2g(h-y)} \]
于是得到\[ \mrd t=-\frac{\sqrt{1+\left(\frac{\mrd x}{\mrd y}\right)^2}}{v}\mrd y= -\frac{\sqrt{1+\left(\frac{\mrd x}{\mrd y}\right)^2}}{\sqrt{2g(h-y)}}\mrd y \]
令\[ f(y)=\sqrt{\frac{1+\left(\frac{\mrd x}{\mrd y}\right)^2}{2g}} \]
可以得到\[ T(h)=\int_{h}^{0}-\frac{f(y)}{\sqrt{h-y}}\mrd y =\int_{0}^{h}\frac{f(y)}{\sqrt{h-y}}\mrd y\]
对于已知的$ T(h) $，只要求解积分方程\[ T(h)=\int_{0}^{h}\frac{f(y)}{\sqrt{h-y}}\mrd y \]
即可得到$ f(y) $，再求解常微分方程即可得到曲线方程。\\
\section{方程的求解}
本书中我们只需要求出$ f(y) $的表达式。
对$ T(h) $进行拉普拉斯变换，有
\begin{align*}
\laplace{T(h)}&=\int_{0}^{+\infty}T(h)e^{-ph}\mrd h\\
&=\int_{0}^{+\infty}\mrd he^{-ph}\int_{0}^{h}\frac{f(y)}{\sqrt{h-y}}\mrd y\\
(\text{交换积分次序})&=\int_0^{+\infty}\mrd y\int_y^{+\infty}\frac{e^{-ph}f(y)}{\sqrt{h-y}}\mrd h\\
&=\int_0^{+\infty}\mrd yf(y)\int_y^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{h-y}}e^{-ph}\mrd h
\end{align*}
对后一个积分，作换元$ t=h-y $，得
\begin{align*}
\int_y^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{h-y}}e^{-ph}\mrd h&=\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-p(t+y)}\mrd h\\
&=e^{-py}\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-pt}\mrd t\\
&=e^{-py}\laplace{\frac{1}{\sqrt{t}}}
\end{align*}
代回原来的式子，得
\begin{align*}
\laplace{T(h)}&=\int_0^{+\infty}\mrd yf(y)e^{-py}\laplace{\frac{1}{\sqrt{t}}} \\
&=\laplace{f(y)}\cdot\laplace{\frac{1}{\sqrt{t}}} 
\end{align*}
于是
\begin{align*}
\laplace{f(y)}&=\frac{\laplace{T(h)}}{\laplace{1/\sqrt{t}}}\\
&=\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{\pi}}\laplace{T(h)}
\end{align*}
得
\begin{align*}
f(y)&=\ilaplace{\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{\pi}}\laplace{T(h)}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\ilaplace{\sqrt{p}\laplace{T(h)}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\ilaplace{\sqrt{p}}*T(h)\\
&=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot\left(-\frac{1}{2\sqrt{\pi t^3}}\right)*T(h)\\
&=-\frac{1}{2\pi}\int_0^y\frac{T(\xi)}{\sqrt{(y-\xi)^3}}\mrd\xi\\
&=\frac{1}{\pi}\frac{\mrd}{\mrd y}\int_0^y\frac{T(\xi)}{\sqrt{y-\xi}}\mrd\xi
\end{align*}
最后一步用到了下面的等式
\begin{align*}
\frac{\mrd}{\mrd y}\int_0^y\frac{T(\xi)}{\sqrt{y-\xi}}\mrd\xi &= \lim\limits_{\xi\rightarrow y}\frac{T(\xi)}{\sqrt{y-\xi}}-\frac{1}{2}\int_0^y \frac{T(\xi)}{\sqrt{(y-\xi)^3}}\mrd\xi\\
&=\lim\limits_{\xi\rightarrow y}2T'(\xi)\sqrt{y-\xi}-\frac{1}{2}\int_0^y \frac{T(\xi)}{\sqrt{(y-\xi)^3}}\mrd\xi\\
&=0-\frac{1}{2}\int_0^y \frac{T(\xi)}{\sqrt{(y-\xi)^3}}\mrd\xi\\
&=-\frac{1}{2}\int_0^y \frac{T(\xi)}{\sqrt{(y-\xi)^3}}\mrd\xi
\end{align*}
\section{总结}
以上推导可以总结为一对变换
\begin{align}
T(h)&=\int_{0}^{h}\frac{f(y)}{\sqrt{h-y}}\mrd y \label{Abel Transform}\\
f(y)&=\frac{1}{\pi}\frac{\mrd}{\mrd y}\int_0^y\frac{T(h)}{\sqrt{y-h}}\mrd h\label{re Abel Transform}
\end{align}